« La section dort, la caravane dine »
Anonyme, tradition orale

Les termes associés à la mesure - proportion, échelle, dimension, dimensionnement - sont constamment utilisés par les architectes. Ils sont probablement importants. Mais ils sont de sens fluctuants.
Occasionnellement, la « dimension » est synonyme de « caractère ». L’expression « dimension constructive de l’espace architectural », par exemple, est synonyme de « caractère constructif de l’architecture ». C’est une référence ostensible à un « espace » dont la « construction » serait un des axes de coordonnées. Mais comme il n’y a aucun système de transformations qui permettrait de passer de la « dimension constructive » à la « dimension affective », par exemple, ou toute autre dimension qu’on voudra, cette référence est purement rhétorique. La « dimension constructive de l’architecture » regroupe simplement tout ce qui concerne la construction en architecture. En ce sens, la « dimension » » est un mot valise de même nature que l’espace. En revanche, l’emploi le plus courant de la « dimension » est assez précis. Le mot désigne, en architecture comme ailleurs, la distance entre deux points de l’espace euclidien. La « grandeur », la « taille » et la « longueur » sont pratiquement synonymes.
Au sens large, une « proportion » désigne n’importe quel rapport quantitatif entre deux objets. Au sens restreint, la « proportion » désigne seulement les rapports quantitatifs qui nous satisfont. Dans cette acceptation du terme, on peut dire d’un bâtiment qu’il est « sans proportions », parce que les rapports dimensionnels qu’on y trouve ne sont pas jugés bons. En règle générale, la « proportion » est  employée à mi-chemin des sens premiers, seulement quand un jugement de valeur est affecté au rapport considéré. On dira, par constat d’une bienveillante neutralité, qu’il y a « un rapport de 1 à 5 » mais on jugera que « la proportion de 1 à 5 est mauvaise », ou « bonne », comme on voudra. Le mot reste synonyme de « rapport quantitatif », mais son usage est plutôt réservé au jugement de valeur.

Au sens strict, une « échelle » désigne le rapport entre une représentation et l’objet qu’elle représente. Une échelle de 1/20° signale que le bâtiment considéré est ou sera vingt fois plus grand que le plan qu’on a sous les yeux. Par extension, une « échelle » désigne tout ce qui informe le rapport de la représentation à l’objet représenté. Un rectangle dessiné n’a pas d’échelle. Un rectangle placé à coté d’un bâtonnet de 1 mètre a une échelle. Plus efficacement, un rectangle avec une porte et un homme debout représente un bâtiment dont la dimension nous est à peu près connue. Plus généralement, une « échelle » nous informe des dimensions de l’objet lui-même, quand nous ne pouvons pas savoir si un objet est petit ou loin. Nous le jugeons par comparaison avec les éléments familiers qu’il côtoie. En ce sens, un bâtiment peut être « sans échelle », s’il y a trop peu d’élément reconnus pour déterminer sa dimension. Un autre édifice peut « avoir de l’échelle » si un grand nombre d’éléments reconnus nous informent. Mais une « échelle » peut aussi désigner un rapport quantitatif quelconque. Un bâtiment « à l’échelle du paysage » désigne une proportion jugée acceptable entre l’édifice et ses environs. Une construction « hors d’échelle » paraît trop grande pour son environnement. En ce sens, « échelle » est synonyme de « proportion ». Pour Philippe Boudon1, une « échelle » désigne par extension tout ce qui confère une dimension à un ouvrage.
Une « mesure » désigne généralement la méthode qui permet de déterminer une dimension. Mais assez souvent, la « mesure » est synonyme de « proportion » ou « échelle ». Un même bâtiment peut être indifféremment « à la mesure de l’homme », « à l’échelle humaine » ou « de proportions humaines ».
Un « dimensionnement » est la prescription d’une ou plusieurs dimensions d’un objet à réaliser. C’est le seul mot de la série qui ait un sens à peu près stable, encore qu’il soit, rarement, utilisé pour désigner la mesure proprement dite.

Mesures à bâtons

Personne n’a le pouvoir de discipliner l’emploi des mots de sens commun. Mais on peut très provisoirement affecter un sens précis à certains de ces mots, pour montrer que dans le monde physique, ils désignent toujours le même objet :

une mesure est une méthode qui permet d’établir un rapport quantitatif entre deux objets ;
une proportion est le rapport quantitatif produit par la mesure ;
une dimension est la proportion d’un objet inconnu rapportée à un objet reconnu ;
une échelle est le rapport inverse d’une dimension ;
un dimensionnement est une méthode qui permet d’établir la dimension d’un objet à partir d’une proportion déterminée et d’autres objets.

La géométrie physique est l’ensemble des propriétés constantes des dimensions, pour autant qu’il y en ait.
La méthode de mesure utilisée pour fonder la géométrie physique concerne les corps pratiquement rigides, lisses et longs : on plaque un des corps rigides sur l’autre, de telle manière que deux de leurs extrémités coïncident ; on marque la deuxième extrémité du premier sur le second ; on reporte la première extrémité du premier corps jusqu’à qu’à la marque ; on marque à nouveau sa deuxième extrémité ; on répète l’opération autant de fois que possible ; on arrête quand on ne peut plus faire de marque sur le deuxième corps. Si on a pu reporter 4 fois un bâton sur l’arrête d’une table, la proportion du bâton à la table est de 1 à 4, la dimension de la table est de 4 bâtons et des poussières, la dimension du bâton est à l’échelle 1/4 de la dimension de la table… Et la géométrie physique est l’ensemble des propriétés constantes des dimensions constatées. Une fois convaincu de ces propriétés constantes, on peut construire géométriquement un centième de bâton et mesurer avec lui les « poussières » qui dépassent du nombre entier. On peut reporter le bâton sur une corde que l’on noue à chaque intervalle et mesurer les courbes avec la corde. On peut aussi, en s’appuyant sur le théorème de Thalès, induit des mesures, trianguler la hauteur d’un nuage sans jamais l’atteindre réellement avec un bâton. Toutes les mesures de distances, même les plus sophistiquées, découlent directement ou indirectement de l’expérience du bâton2.
Pour dimensionner une table, la méthode n’est pas très différente. Pour obtenir une table de 3 bâtons, comme pour une mesure, on reporte 3 fois le bâton sur l’arête de la table et on découpe tout ce qui dépasse, en espérant que les pieds de la table tiendront. Alors que la mesure détermine un rapport à partir de deux objets, le dimensionnement détermine un objet à partir d’un autre objet et d’un rapport déterminé. C’est une variante intentionnelle de la mesure. On ne constate pas une dimension, une proportion ou une échelle, comme on voudra l’appeler, on la prescrit : ce lit doit faire 2 bâtons de long ; la proportion du bâton au lit doit être de 1 à 2 ; ce bâton doit représenter le lit à l’échelle 1/2.
Dans des circonstances normales3, les dimensions obtenues par mesures ou dimensionnements ont trois propriétés exceptionnelles.
D’une part, la même mesure, réitérée avec le même bâton, obtient le même résultat : à température et pression constantes, une table mesurée à 3 bâtons peut être plusieurs fois mesurées à 3 bâtons.
D’autre part, les proportions de proportions sont constantes, quel que soit le bâton utilisé. En France, le bâton le plus courant est un « mètre », copie conforme d’un original déposé au Pavillon de Breteuil. Ailleurs, le bâton est un pied. Auparavant, c’était une canne ou une coudée. Peu importe : les proportions de proportions ne changent pas, quelle que soit l’unité de mesure adoptée au départ. Si la proportion entre la hauteur d’une porte et un mètre étalon est de 4, si la proportion entre la largeur de porte et le mètre est de 2, la proportion entre la hauteur et la largeur de la porte est de 4 / 2 = 2 / 1. Cette proportion seconde reste vraie, même si nous utilisons le pied comme unité de mesure. Les dimensions sont changées : la hauteur est de 13,12 pieds ; la largeur est de 6,56 pieds. Mais la proportion des proportions est constante : 13,12 / 6,56 = 2 / 1. L’unité de mesure de départ est indifférente pour établir la proportion entre deux objets inconnus4.
Enfin, toutes les mesures opérées dans des circonstances normales respectent l’ensemble des propriétés d’un objet mathématique - la géométrie euclidienne - où les dimensions sont associatives et commutatives, où le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des cotés, où la circonférence d’un cercle est égale au produit de son diamètre par Pi… et tout ce qui s’ensuit.
Dans ces circonstances, la connaissance d’un seul terme permet de déduire les autres : si on connaît la grandeur – 3 bâtons - on connaît la proportion – 1 à 3 – et l’échelle – 1/3 ; si on connaît l’échelle, on connaît la grandeur et la proportion ; si on connaît la proportion, on connaît la grandeur et l’échelle. Les trois termes sont déduits de la même mesure.
Il n’y a donc pas lieu de se troubler des confusions du sens commun, qui utilise les mots avec une grande libéralité. On pourrait espérer un peu plus de rigueur. Mais en l’espèce, le sens commun est d’assez bon sens : dans le monde physique des mesures à bâtons, c’est toujours le même objet, la mesure, qui est désigné. Peu importe par quel terme, « grandeur », « proportion », « rapport », « échelle », etc.
Il n’importe pas plus, dans le monde physique, de reconstruire la géométrie à partir de la mesure, comme cela vient d’être fait. Le sens commun s’en tient à la démarche inverse : il y a des grandeurs géométriques, d’abord, et des moyens de les mesurer, ensuite. L’effort d’inversion des termes, la méthode de Kant qui met les moyens de connaître en avant des objets à connaître, n’est utile que dans des circonstances exceptionnelles. Si Einstein et Mandelbrot prennent la peine de reconstruire une notion si familière, c’est qu’ils ont du pain sur la planche. Ils ont à dire que dans certaines circonstances, les propriétés géométriques que nous pensions vraies ne le sont pas autant que ça. Si le même chemin est emprunté ici, c’est aussi, dans une moindre mesure, parce que certaines propriétés des grandeurs architecturales seraient mal comprises sans cette pénible reconstruction du sens commun : la mesure d’abord, la proportion, la grandeur et l’échelle ensuite, comme produits de la mesure.

Mesure à tâtons

Si les mesures à bâtons fondent l’extraordinaire coïncidence entre le monde physique et la géométrie euclidienne, l’explorateur sans appareil imaginé en introduction, l’architecte, pendant le projet, et le visiteur, après la réception des ouvrages, utilisent des mesures à tâtons. C’est en tâtonnant, à vue de nez, par approximations successives, qu’ils mesurent les choses, plus ou moins bien.
La géométrie à tâtons est fondée sur un système incomplet et bancal. Un objet y est plus long ou plus court qu’un autre, ces termes clairs étant complétés par des prépositions imprécises : beaucoup plus long, un poil plus court, au moins aussi long, presque pareil ou à peine différent. La numération, généralement tempérée par une préposition, est limitée à la première série décimale : au moins deux fois plus grand ; peut être trois fois plus large ; entre quatre et huit fois plus long…
Les opérations possibles sur ces quantités sont extrêmement limitées et presque toujours incertaines : un peu plus court que A + nettement plus long que A = bien plus que 2A, en certaines circonstances, ou presque 2A, en d’autres. Tout n’est pas absolument possible dans cette géométrie : 2 x un poil plus long que A n’y sera jamais inférieur à 2A. Mais dans l’ensemble, les lois y sont trop floues pour des calculs sereins.
Ce faisant, les proportions de proportions n’y sont plus constantes, et souvent incommensurables. Si la hauteur d’une porte est mesurée à presque deux fois un joueur de basket debout et sa largeur à un poil de moins qu’un joueur de basket couché, quelle est la proportion de la hauteur à la largeur ?
Elle ne sera pas forcément la même que si ces mesures prennent pour base un nain de jardin : bien plus que 3 nains de jardin / 2 nains à tout casser # presque 2 joueurs de basket / un poil moins qu’un joueur de basket. Le miracle constamment renouvelé de la géométrie classique n’a pas lieu.
Dans la géométrie à tâtons, l’unité de mesure n’est jamais indifférente aux résultats. Nous y utilisons un très grand nombre de mesures croisées, fondées sur des unités parfois présentes, parfois absentes, comme le grand gaillard que nous avons imaginé. Nous rapportons mentalement la hauteur d’une porte à sa largeur, nous imaginons un homme qui passerait par cette porte. Nous reportons la hauteur totale du bâtiment à son plus petit élément, nous comparons des éléments reconnus par convention et des éléments inconnus.
Qu’il s’agisse d’un objet ou de sa représentation, nous effectuons un très grand nombre de mesures approximatives qui aboutissent à des résultats souvent contradictoires.
Une autre particularité de la géométrie à tâtons est la diversité des mesures en fonction des situations. Une distance un poil plus longue de face peut devenir franchement plus courte de profil, parce que le raccourci perspectif l’aura restreinte. Une distance pratiquement égale en biais peut devenir bien plus grande à angle droit, parce l’esprit humain, en se figurant la bissectrice de l’angle droit, apprécie bien la différence entre la longueur et la largeur d’un rectangle.
Dans ce monde où les proportions de proportions ne sont pas constantes, il n’est pas toujours indifférent de distinguer assez nettement l’échelle – rapport d’un objet inconnu à un objet reconnu – de la proportion – rapport entre deux objets inconnus. Il n’est pas non plus indifférent de distinguer la grandeur « apparente » – qui est vue de biais – de la grandeur « vraie » – qui est vue de face. Mais l’effort constant des architectes sera de ramener les mesures à tâtons dans le giron de la géométrie à bâtons, dans cette géométrie de mesures stables où les distinctions lexicales n’ont plus aucune espèce d’importance.

Mesures estimables

Il n’est pas exclu que l’homme sans appareil ait pu, assez longtemps, se contenter des mesures à tâtons et de la géométrie bizarre qui s’ensuit. Mais l’homme adulte que nous connaissons aujourd’hui a une très claire intuition de la géométrie euclidienne. A tort ou à raison, il croit que les distances sont constantes et il s’étonne à chaque fois que, les mesurant à tâtons, elles cessent de l’être. Pour apaiser son trouble, l’architecture utilise des techniques qui permettent, autant que faire se peut, la coïncidence entre la géométrie à tâtons et la géométrie à bâtons. L’architecture produit un ensemble de grandeurs estimables, au sens premier du terme : elles peuvent être estimées.
L’homme sans appareil évalue les grandeurs de plusieurs façons.
Certaines mesures sont directement rapportées à la taille de l’observateur. Dans une mesure à bâton, la différence observable entre la règle et l’objet mesuré est proportionnelle à l’acuité visuelle de l’observateur et à la distance qui le sépare de l’objet mesuré. La mesure est pratiquement indépendante de la taille de l’objet et de la taille du bâton. Une manière particulièrement efficace de donner à voir les mesures à un homme sans appareil découle de la mesure à bâtons (1) : les grandes dimensions peuvent être rapportées à une quantité dénombrable de modules reconnus : étages, travées, joints, caissons, lits, panneaux, etc. Le goût de l’architecte pour la stricte répétition n’est pas gratuit : il produit des grandeurs estimables par des mesures indépendantes de la taille de l’objet. Mais les conditions formelles du procédé – quantité dénombrable de modules reconnus – ne sont pas toujours réunies.

Evaluation des grandeurs relatives

1a rapport d’égalité, 1b rapport inestimable, 1c rapport estimable, 1d rapport inestimable
2, 3, 4, 5, séries d’éléments comparables 2 par 2, rapports entre 1,2 et 2

Plus souvent, la différence qu’un homme sans appareil peut apprécier entre deux objets est proportionnelle aux objets considérés : plus les objets sont grands et plus la différence doit être importante pour être identifiée, indépendamment de la taille de l’observateur. Des circonstances font varier la différence observable : si deux bâtons sont éloignés et placés de biais l’un par rapport à l’autre (2), il est très difficile de déterminer lequel est le plus long en deçà d’un rapport de 1 à 2. Si les bâtons sont rabattus sur des plans de références, alignés (3) ou réglés sur des angles droits (4), l’appréciation des proportions est plus fine, de l’ordre de 1 à 1,2. Mais dans tous les cas de figures, la différence observable est proportionnelle aux objets considérés.
Abstraction faite des circonstances, qui varient d’une configuration à l’autre, d’une culture à l’autre, d’une personne à l’autre, plusieurs constantes peuvent être énoncées en principe :
 il y a un plus grand rapport d’égalité ; au-dessous d’un certain rapport euclidien - 1,1 environ pour les cotés d’un « carré », par exemple - deux segments sont pratiquement  égaux ;
 il y a un plus petit rapport estimable ; au-dessus d’un certain rapport – 1,2 environ pour les cotés d’un rectangle, par exemple – deux segments sont pratiquement différents ;
 il y a un plus grand rapport estimable ; au-dessus d’un rapport de 1 à 4, on peine à estimer la hauteur et la largeur d’un rectangle ; au-dessus d’un rapport de 1 à 10, on cesse de voir un « rectangle » pour ne plus considérer qu’une « ligne » plus ou moins épaisse ;
 il y a des rapports inestimables ; au-dessus du plus grand rapport estimable, entre le plus grand rapport d’égalité et le plus petit rapport estimable, certaines grandeurs sont difficilement comparables ;
 l’ensemble des plus petits rapports estimables est contenu dans une série géométrique ; si un premier élément n’est comparable avec le second qu’au dessus d’un certain rapport, le second ne sera comparable avec un troisième qu’au dessus du même rapport ; si on ne veut dimensionner que des grandeurs distinctes les unes des autres, on doit utiliser une règle dont les graduations se raréfient à mesure qu’on s’éloigne du point de départ, dans une proportion géométrique fondée sur le plus petit rapport estimable5.
 il y a un nombre fini d’éléments qui peuvent être comparés deux par deux ; Si les limites varient selon les circonstances, le principe est toujours vrai. Dans des circonstances normales, un homme sans appareil ne peut pas comparer deux par deux plus de 3 à 6 éléments6.

Cette dernière restriction est d’une portée considérable, parfaitement illustrée par le problème classique de la corniche, tel qu’il est présenté par Georges Gromort7 dans le chapitre qu’il consacre au « contraste » qui, selon lui, doit être le plus grand possible.

« D’une manière générale, un ensemble de moulures de ce genre comporte trois valeurs principales : les grandes telles que A, B, C, D, E ; celles de moyenne largeur, F, G, H ; enfin les moulures très fines, J, K. Il est visible qu’on s’est appliqué soigneusement à créer des contrastes partout. On remarquera que, presque jamais, deux moulures de même valeur ne se suivent ; deux moulures larges A et B (l’une d’ailleurs plate et l’autre de profil incurvé) sont séparées par un groupe JG, dont l’ensemble lui-même est nettement moins fort que chacune des valeurs A et B. Mais dans ce petit groupe, le listel J et le talon G diffèrent encore (…) par leur degré de finesse … »8

Gromort, Essai sur la théorie de l’architecture, p.75, 76. P.U, Systèmes d’emboîtements, à droite

Pour obtenir le plus grand contraste possible, l’architecte ne peut pas accroître les différences entre les éléments. Il souhaite aussi que toutes les proportions soient estimables, inférieures au plus grand rapport estimable possible. Dès lors, dans une conception classique des proportions - qui va de 1,3 à 4 environ - il n’a pas à sa disposition plus de 3 à 4 grandeurs comparables deux par deux pour gérer les 10 éléments de sa corniche. Il range les éléments en classes contrastées, ABD, CE, FGH et JK, de telle manière que deux mesures quelconques soient toujours pratiquement égales, si elles appartiennent à la même classe, ou franchement différentes, si elles sont dans deux classes différentes. Par ailleurs, il fait en sorte que les mesures mitoyennes soient toujours contrastées : A # F & J, B # G & C, etc. Il cherche aussi à ce que les groupes d’éléments mitoyens soit, tantôt pratiquement égaux – EDKHC ≈ BGJAF – tantôt franchement différents - ED # KHC # B # GJAF.
L’extrême rareté des séries d’éléments qui peuvent être comparés deux par deux conduit les architectes à manipuler plusieurs séries distinctes et à clarifier les rapports entre les séries par des médiateurs. Dans une travée classique, par exemple, il n’y a pas de rapport estimable direct entre la colonne et l’entablement. En revanche, il y a des rapports estimables entre l’entablement (a), l’arc (b) et les piédroits (c). Il y a des rapports estimables entre l’entablement, les bases* (f) et les chapiteaux (d,e). L’entablement a un rôle médiateur entre la série des grandes dimensions – arcs, piédroits, colonnes - et la série des petites dimensions – bases et chapiteaux.

Le Corbusier, Villa Stein, Garches, 1927

Dans un tout autre genre, la façade principale que Le Corbusier a réalisé à Garches illustre parfaitement ce que peut être un ensemble de rapports estimables. Rien n’y est laissé à l’écart de nos mesures à tâtons. Ce travail explicitement fondé sur la section d’or montre une rythmique horizontale finalement classique, a-b-a-b-a, et une gradation verticale, 1-2-3-4, où toutes les dimensions qui ne sont pas strictement égales sont nettement différentes.
Mais l’obsession du rapport strictement estimable – caractéristique de l’Académie et de Le Corbusier – a quatre exceptions : je ne sais quoi, presque rien, absolument grand et absolument petit.

Louis Kahn, Phillips Exeter Academy, 1972

La bibliothèque de la Phillips Exeter Academy de Louis Kahn* est un édifice en brique dont les linteaux sont, logiquement, évasés vers le haut. A chaque étage, de façon imperceptible, l’évasement des linteaux resserre les trumeaux et élargissent les baies. Kahn a eut par ailleurs une très belle formule pour en parler : « le moment où les fenêtres, en s’élargissant, transforment les murs en colonnes. » C’est précisément ce qui se passe ici : en bas, nous avons un mur percé de fenêtres ; en haut, nous avons un vide rythmé par des colonnes ; mais entre les deux, nous évaluons mal la mécanique du resserrement. Le rez-de-chaussée aux ombres profondes est nettement distinct, ainsi que l’étage de couronnement qui ouvre sur le ciel. En revanche, le premier étage, et surtout les deux suivants, sont pratiquement identiques, à ceci près qu’à chaque niveau, la brique des trumeaux  s’amenuise, le verre et le bois des baies s’élargissent. Ces différences sont presque imperceptibles. Avant analyse, nous n’en sommes pas réellement conscients. Nous retenons seulement une manière d’élévation de la terre au ciel, une certaine dématérialisation progressive du bâtiment.
Le jeu des proportions tient, même privé des effets conjugués des ombres noires et du ciel bleu, une place considérable dans le dispositif. Comme Le Corbusier, Louis Kahn a voulu faire passer de la terre au ciel. Mais les deux architectes ont pris des partis opposés : Le Corbusier augmente la part des murs de bas en haut, Louis Kahn les allège. Surtout, ils gèrent les proportions de façon opposées : Le Corbusier les donnent toutes à voir ; Louis Kahn en cache l’essentiel.
Sa ruse ultime est de constituer les fenêtres de chaque étage comme de véritables machines à proportion, dont chaque élément peut être apprécié par rapport aux autres. C’est la différence entre les trois types de fenêtres qui est difficile à estimer, c’est elle qui nous penser à un « je ne sais quoi », là où il n’y a qu’un artifice maîtrisé.

Adolph Loos, Michaelerplatz, 1910

En pendant au « je ne sais quoi » de Louis Kahn, Adolph Loos est un adepte du « presque rien »9. Par doctrine, il prétend n’être attentif qu’aux usages. De fait, il manipule des proportions bizarres. Construit en 1910, l’immeuble de la Michaelerplatz de Vienne insère, entre un rez-de-chaussée assez classique et une corniche impeccable, un presque carré ou s’insèrent des fenêtres pas tout à fait carrée, entre des trumeaux et des linteaux de largeurs à peine différentes. Il n’y a pas, ici, le mystère du « je ne sais quoi », mais une manière d’agacement, pour celui qui veut mesurer à vue de nez des proportions qui se dérobent constamment, de « presque rien », à ce que nous serions en droit d’attendre.

Louis Kahn, Yale Center for British Art, 1969

Louis Kahn illustre une autre contravention majeure au principe des séries géométriques croissantes. Dans le Yale Center for British Art, toutes les grandeurs peuvent être distinguées les unes des autres, rapportées les unes aux autres dans des rapports tendus de 1 / 2 à 1 / 5. Les panneaux d’aciers et de verres sont tous commensurables, sauf les joints creux et les encadrements, d’une finesse qui défie la mesure à vue de nez. Ces toutes petites dimensions, dont nous ne pouvons pas dire le rapport aux grandes, cessent d’être relatives et figurent un « absolument petit » magnifiquement résumée par un aphorisme de Le Corbusier visitant le Parthénon : « la fraction de millimètre intervient »10.

Etienne-Louis Boullée, Cénotaphe de Newton, 1784

A l’envers du joint « absolument petit », la coupe sur le Cénotaphe de Newton que Etienne-Louis Boullée imaginait à la fin du 18e siècle est probablement  la meilleure illustration du « sublime », que Kant définit comme ce qui est « absolument grand ». Si le bâtiment avait été construit, il est probable que les visiteurs, après être passé par les tunnels et remontés par les escaliers, n’aient que le sentiment que nous pouvons avoir dans un planétarium moderne, celui d’une voûte étoilée sans proportion. C’est la coupe qui est proprement sublime en ce qu’elle donne à voir, à la fois, les proportions mesurées des tunnels, des escaliers et du catafalque de Newton, d’une part, et d’autre part, le hors d’échelle de la voûte. Aucune commune mesure ne la rattache aux éléments que nous pouvons reconnaître, et c’est en ce sens qu’elle est « absolument grande », paradoxe géométrique que Kant avait parfaitement identifié dans son heureuse définition.

Les exceptions signalées – « je ne sais quoi », « presque rien », « absolument petit » et « absolument grand » – viennent en contrepoints, toujours exceptionnels, des proportions strictement estimables, généralement utilisées, même si les modernes ont tendance à jouer plus souvent sur la stricte égalité et sur des rapports plus tendus que les classiques : 1/3, 2/3, c’est classique, 1/5, 4/5, c’est moderne.
Le dispositif général est tiraillé entre deux principes :
- la série géométrique des plus petits rapports estimables, de forme générale Y = K^X ;
- l’extrême rareté des éléments qui peuvent être comparés deux par deux, de l’ordre de 3 à 6 selon les circonstances.
Ces deux facteurs conduisent les architectes à emboîter plusieurs séries d’éléments commensurables les unes dans les autres, tandis que l’observateur est lui-même enclin à associer les éléments mitoyens dans des groupes commensurables. L’architecte l’y encourage parfois par des artifices que la morale réprouve. Dans un projet pour la Société des Nations, un bateau sur le lac Leman estompe la symétrie du corps central et met en exergue une série croissante de droite à gauche. L’architecte qui a dessiné le bateau et le bâtiment a été un des principaux acteurs de l’effroyable affaire de la section d’or.

Le Corbusier, Société des Nations. P.U., report des proportions

L’affaire de la section d’or

Même si la recherche de rapports simplement estimables suffit pour explorer les proportions employés par les architectes, eux même se sont plus souvent intéressés à la « belle » proportion. Les anciens et les maîtres d’œuvres du moyen-age ne l’ont certainement pas ignorée, mais c’est à la Renaissance qu’une relative abondance des textes permet à Rudolph Wittkower11 de traiter sérieusement la question. C’est bien de mesure, de proportion et d’échelle dont parle Alberti quand il traite de la « finitio », qu’il définit comme « la détermination des limites » de l’édifice. Comme nous pouvons le connaître, l’homme cultivé de la Renaissance croit, explicitement ou implicitement, que la nature est régie par  de justes proportions, que le créateur a déterminé une fois pour toutes. En retrouvant ces proportions, l’architecte ou le peintre peut établir une analogie pertinente entre son travail et la gâche du Dieu Sauveur12. Comme Pythagore avant eux, ils étaient fascinés par la métrique musicale, qui établissait une stricte correspondance entre les « harmoniques » perçues par l’oreille et la vibration de cordes de longueurs fractionnées par des nombres entiers. Si des proportions géométriques existaient – et pour eux, elles existaient certainement – elles devaient s’exprimer par des nombres entiers.
La proportion qui lie deux éléments entre eux, était envisagée de façon assez libérale, dès lors qu’elle pouvait être exprimée par des entiers : 2/3, 3/4, 4/5, etc., peu importe… En revanche, dès qu’un troisième élément apparaissait – la hauteur d’une pièce dont on connaît la longueur et la largeur, par exemple – il devait être dans un rapport déterminé aux deux premiers. Le problème s’exprimait généralement comme la recherche d’une moyenne entre deux extrêmes. Les auteurs de la Renaissance en reconnaissaient trois : le moyenne arithmétiques, la moyenne géométrique et la moyenne harmonique.

La moyenne arithmétique est la plus simple à exprimer : « le second terme excède le premier de la même quantité que le troisième excède le second. ». Dans une suite, on ajoute une quantité constante à chaque fois : 3 + 2 = 5 + 2 = 7 + 2 = 9, etc.13-
Sous forme algébrique, on a :
Y₁ + K = Y₂, Y₂ + K = Y₃
Y₂ = (Y₁+Y₃) / 2
Suite YX = K x X + 1 ou YX = K x X*
La moyenne est « arithmétique » par addition.

La moyenne géométrique est à peine plus compliquée : « le premier terme est au second ce que le second est au troisième. ». Dans une suite, on multiplie par une quantité constante à chaque fois. 3 x 2 = 6 x 2 = 12 x 2 = 24, etc.
Sous forme algébrique, on a :
Y₁ x K = Y₂, Y₂ x K = Y₃
Y₂ = racine ( Y₁ x Y₃ )
Suite Y = K^X + 1 ou Y = K^X
La moyenne est « géométrique » par multiplication.

La moyenne harmonique est d’une définition moins intuitive :  « la distance entre les deux extrêmes et la moyenne est une même fraction de leur propre quantité ». Plus simplement, la moyenne harmonique est la division d’une même quantité par des nombres croissants : 120 / 2 = 60, 120 / 3 = 40, 120 / 4 = 30, etc.
Sous forme algébrique, on a :
( Y₂ - Y₁ ) / Y₁ = ( Y₃ - Y₂ ) / Y₃
Y₂ = 2 ( Y₁ x Y₃ ) / ( Y₁ + Y₃ )
Suite Y = 1 / ( K – X ) ou Y = 1 / X
La moyenne est « harmonique » par division.

Les moyennes arithmétiques, géométriques et harmoniques ne sont pas qu’un discours de salon. Elles sont effectivement mises en œuvre à la Renaissance et à l’age classique. Pour ne citer qu’eux, les plans de Palladio sont modulés et les hauteurs des salles sont en rapports simples avec les longueurs et les largeurs. Sous des formes moins rigoureuses, les proportions architecturales vont être assez longtemps réglées sur des nombres entiers ou des fractions entières de modules, pour des raisons théoriques et pratiques. D’une part, certains architectes jugent commodes de travailler leurs esquisses sur du papier quadrillé, qui donne des directions et des échelles. D’autre part, le module permet, tantôt des traitements répétitifs, tantôt une rigueur apparente, dont certains effets on déjà été évoqués14.
Quelles que soient les descendances pratiques et théoriques du module, elles n’ont plus, depuis longtemps, l’assise solide d’une référence à Dieu ou à la Nature. Des attaques en règles ont ruiné cette prétention. La plus sérieuse a été le « Parallèle des anciens et des modernes » de Charles Perrault, publié en 1688 :

« L’abbé
« On prétend qu’entre les colonnes qui sont au palais des Tuileries, il y en a une qui a cette proportion tant désirée, et qu’on va voir par admiration, comme la seule où l’architecte a rencontré le point imperceptible de la perfection. On dit même qu’il n’y a pas longtemps qu’un vieil architecte s’y faisait conduire tous les jours, et passait là deux heures entières assis dans sa chaise à contempler ce chef d’œuvre.
« Le chevalier
« Je ne m’en étonne pas. Il se reposait d’autant, et dans un lieu très agréable. Il s’acquérait d’ailleurs une réputation à peu de frais, car moins on voyait ce qui pouvait le charmer dans cette colonne, et plus on supposait en lui une profonde connaissance des mystères de l’architecture. »15

Alors que les « anciens » croient à des proportions fondées sur une nature divine, les « modernes » y reconnaissent une « beauté arbitraire », fondée sur l’accoutumance. Les « beautés positives » fondées en raison se limitent alors aux proportions déterminées par la fonction et la technique. Perrault ne cherche pas à modifier les proportions en usage. Mais il n’y voit qu’une habitude, qui n’est pas d’essence divine.
Sans aller jusqu’à une contestation aussi radicale que Perrault, un grand nombre d’architecte des XVIIIe et XIXe siècles vont être assez sceptiques, reconnaître dans la proportion une affaire de goût, de sensibilité ou d’indicible.
C’est, dans une ambiance éclectique, le sentiment général des architectes au début du 20e siècle. Il est tardivement exprimé par Gromort, qui incarne les restes d’une Académie toujours « moderne », au sens de Perrault : « certains architectes (se) demandent si certaines formes géométriques, ou si les propriétés de certains nombres, n’étaient pas de nature à créer une sorte d’arithmétique ou de géométrie de la beauté, permettant d’obtenir, à coup sûr, d’heureux effets. Or il est incontestable que certaines formes et certaines relations plaisent mieux que d’autres, sans qu’on puisse en donner des raisons bien sérieuses. »16. Gromort résume encore mieux l’opinion commune, débarrassée de la charge critique de Perrault : « Ce que nous appelons en art la proportion, c’est le je ne sais quoi qui fait que tel rapport nous plaît mieux que d’autres… »17
En désignant « certains architectes » qui assigneraient une charge esthétique à certains nombres, Gromort pense peut-être aux architectes « modernes », à contre sens de Perrault. Dans la première moitié du 20e siècle, c’est en effet dans les avant-gardes que se niche le mysticisme des temps anciens. Mais le goût des artistes a changé : ils juraient par les nombres entiers ; ils n’adorent plus que les nombres irrationnels, tout particulièrement la section d’or, « mythe moderne » qu’il va falloir désosser à la suite de Marguerite Neveux18-.
Le nombre d’or est  
La série géométrique qui en découle, Y_n+1= Phi Y_n , Y = Phi^X a une propriété remarquable : Y_n + Y_n+1 = Y_n+2

On peut obtenir la section d’or par approximation, dans la suite de Fibbonacci, où les chiffres s’additionnent en série :
1 + 2 = 3 + 2 = 5 + 3 = 8 + 5 = 13 + 8 = 21, etc.

5/3 est déjà une bonne approximation de la section d’or : 1,66

On peut construire géométriquement la section d’or de plusieurs façons, dont les plus fameuses sont fondées sur demi-carré :
1 . BC = AB / 2, CD = BC, AE = AD, AE = EB x Phi
2 . BC = AB, DB = AB / 2, DE = DC, AE = AB x Phi

La section d’or est évoquée par Euclide, comme le moyen de couper une droite en extrême et moyenne raison. Elle sert à construire le pentagone (3), plus généralement les polyèdres réguliers, et chez Euclide, elle ne sert pratiquement qu’à ça A la Renaissance, Luca Pacioli, moine franciscain et professeur de mathématique, surtout connu pour sa « Somme d’arithmétique, géométrie, proportion et proportionnalité » de 1487, est également l’auteur d’une « Divine proportion »19 où il reprend les principaux éléments d’Euclide concernant les corps réguliers. Si Pacioli insiste sur le partage en extrême et moyenne raison, c’est, comme Euclide, parce qu’il permet de construire le pentagone et le dodécaèdre. En passant, il attribue à cette proportion des propriétés liées à la foi chrétienne : il mentionne 13 effets de la proportion, en référence aux 12 apôtres et au Sauveur ; il établit des correspondances singulières entre le ciel et la terre, « comme dieu a créé l’univers de même notre sainte proportion donne sa forme au dodécaèdre »20.

Pacioli, Divine proportion, appendice

Alors que la divine proportion est terminée en 1498, sa publication de 1509 est augmentée de deux appendices indépendants. Un de ces appendices est destiné aux architectes et aux sculpteurs. Il établit les mesures et proportions du corps humain, des chapiteaux et des colonnes, mais uniquement dans des rapports arithmétiques simples comme 10, 8, 6 et 3, traditionnels à la Renaissance. Incidemment, Pacioli conseille de décorer les bases de chapiteaux par des corps mathématiques « qui donnent à réfléchir aux doctes et aux savants pour la raison que toujours ils seront faits avec cette science de la divine proportion comportant un moyen et deux extrêmes. »21 C’est la seule référence explicite au traité mathématique proprement dit.

Comment comprendre, aujourd’hui, l’association dans un même ouvrage d’un traité mathématique et de considérations architecturales qui n’ont pratiquement rien à voir avec le traité ?
Certaines thèses de Michel Foucault peuvent y aider. Dans « Les mots et les choses »22, il montre, pour des ouvrages de la même époque, les propos objectifs mêlés aux récits légendaires. La rationalité de la Renaissance n’est que partiellement semblable à la notre. On peut à la fois mener une démonstration rigoureuse et rapporter des contes de vieilles sorcières. Foucault y voit la marque d’une « ressemblance » qui préside aux associations d’idées, qui lie les choses aux choses et les mots aux choses. Certainement, Pacioli ne doute pas qu’il y a une ressemblance entre l’architecture et la divine proportion, comme entre les 13 propriétés mathématiques de la section d’or et le nombre des apôtres. Mais il n’établit aucune stricte correspondance, aucun lien de cause à effet comme nous pourrions l’entendre. En associant à son ouvrage mathématique un appendice esthétique, il n’agit pas autrement qu’un directeur de rédaction moderne qui, dans un même numéro, associe deux articles différents dont il pense qu’ils vont bien ensemble. C’est probablement ainsi que les contemporains de Pacioli interprètent son propos, puisque qu’aucun traité d’architecture contemporain ne fera une affaire de la section d’or.
Cet objet strictement mathématique ne vient à l’esthétique qu’au XIXe siècle, en Allemagne, dans un contexte qui associe de fortes recherches scientifiques et un mysticisme diffus. Adolf Zeising, professeur de philosophie, publie en 1854 de « Nouvelles leçons sur les proportions du corps humain »23- qui vont inaugurer une longue suite d’ouvrages. Selon Zeising, il existe une relation inévitable entre la beauté et la proportion, fondée sur une même définition. Pour lui, « Le beau est l’harmonie qui relie l’unité à la diversité. Le rapport entre deux parties inégales doit être égal au rapport des parties au tout. » Ca tombe bien : c’est précisément la définition de la section d’or :  Y1 / Y2 = Y2 / (Y1 + Y2 ). Cette théorie, pratiquement fondée sur un witz*, sur un jeu de mot, sur une ressemblance entre deux définitions, va être reprise par de nombreux auteurs qui se copient les uns les autres, qui s’adossent les uns aux autres. Pacioli est naturellement convoqué, en principe plutôt qu’en toutes lettres.
En France, le plus pittoresque des théoriciens de la section d’or est probablement Charles Henry, qui invente un « triple décimètre esthétique » et un rapporteur de même tonneau.

C’est par Charles Henry, qui donne des cours et conférences vers 1870, que la section d’or va pénétrer les cercles artistiques. Signac et Seurat, entre autres, sont des auditeurs attentifs.
Naturellement, on recherchera des vérifications expérimentales de la théorie. Elles viendront. Des dessins d’une clarté confondante vont montrer que le Parthénon est rigoureusement inscrit dans une foultitude de rectangles d’or.
On montre aussi bien, à la même époque, que la pyramide de Kheops détermine la distance de la terre à la lune et que les colonnes Maurice parisiennes sont réglées par la circonférence du soleil. Mais en ce dernier cas, c’est un humoriste qui tente l’exercice, pour rappeler utilement que dans un objet complexe dont on peut choisir n’importe quels points, on peut retrouver, entre ces points, toutes les proportions approximative que l’on veut.

Josef Hoffmann, Palais Stoclet, dessin d’avant projet, vers 1905. P.U. Rapports 5/3

Marguerite Neveux24 nous rappelle aussi que si un grand nombre de tableaux paraissent construits sur la section d’or, c’est que la plupart des peintres utilisent un carroyage pour leurs composition :. dans un carroyage plus grand que 5 par 3, on peut retrouver le rapport 5/3, très proche de la section d’or. De la même manière, on trouve dans n’importe quel projet d’architecture carroyé autant de section d’or que l’on veut… Même si de nombreux indices peuvent faire penser que le nombre d’or a été utilisé par des artistes avant le XIXe siècle, les relevés d’œuvres complexes ne sont pas des preuves directes de son emploi25-. Il faut en la circonstance se contenter de l’histoire : c’est au début du XXe siècle que la section d’or apparaît dans le domaine des arts et de l’architecture.
Le Corbusier est un ardent promoteur de la « Divine Proportion ». Il s’en fait le héraut dans « Vers une architecture ». Il y mentionne deux types de rapports : le « lieu de l’angle droit », pour le capitole, le Petit Trianon, et la section d’or, qu’il utilise explicitement dans ses projets. Après ce qui est peut être la plus belle illustration des « tracés régulateurs » fondés sur un module, Le Corbusier s’en tient, en ce qui concerne la proportion, à marteler ce qu’il croit être une évidence : « le passé nous a légué des preuves. ».

Le Corbusier, « lieux de l’angle droit » du Capitole de Rome, Vers une Architecture, p.60

C’est avec « Le Modulor, essai sur une mesure harmonique à l’échelle humaine applicable universellement à l’architecture et à la mécanique »26, que Le Corbusier va complètement théoriser ses rapports amoureux à 1,618. L’ouvrage émerge pendant la guerre. Le nord de la France est occupé.
« Un des jeunes, Hanning, devait filer en Savoie de l’autre coté de la ligne (de démarcation). "Donnez moi une tache pour occuper mes heures vides !" (…) "Voici, lui fut-il répondu : L’afnor propose de normaliser les objets de la construction, la méthode est simpliste. (…) Je rêve d’installer sur les chantiers qui couvriront plus tard le pays, une « grille des proportions » tracée sur le mur ou, appuyée au mur, faite de fers feuillards soudés, et qui sera la règle du chantier, l’étalon ouvrant la série illimitée des combinaisons et des proportionnements, le maçon, le charpentier, le menuisier viendront à tout instant y choisir les mesures de leurs ouvrages et tous ces ouvrages divers et différenciés seront des témoignages d’harmonie. Tel est mon rêve. Prenez l’homme-le-bras-levé, 2,20 m de haut, installez-le dans deux carrés superposés de 1,10 m; faites jouer à cheval sur les deux carrés, un troisième carré qui doit vous fournir une solution.  Le lieu de l’angle droit doit pouvoir vous aider à situer ce troisième carré. « Avec cette grille de chantier et réglée sur l’homme installé à l’intérieur, je suis persuadé que vous aboutirez à une série de mesures accordant la stature humaine (le bras levé) et la mathématique…"
Telles furent mes instructions à Hanning.
Le 25 août 1943 arrivait une première proposition »26

P.U. Les différents tracés, d’après Le Corbusier, Modulor 1

Dans l’ambiance de débâcle qu’on imagine sous l’occupation, le fameux travail va enchaîner d’incroyables erreurs de géométrie élémentaire. Hanning propose un double rabattement à partir du carré, d’une section d’or en bas (1B) et d’une racine de deux vers le haut (1C). La figure induite est plus grande qu’un double carré (1D) et les deux diagonales ne définissent le « lieu de l’angle droit » qu’en apparence. Personne ne s’en soucie. Maillard, autre membre de l’agence, reprend le flambeau. Il rabat la section d’or de la même manière que Hanning (2B) mais repart ensuite à la perpendiculaire de la diagonale (2C). Le « lieu de l’angle droit » est trouvé, mais la figure n’est toujours pas un double carré (2D). Il faut attendre le 10 mars 1944 pour que Hanning signale par courrier que le seul « lieu de l’angle droit » d’un double carré le découpe en deux parties rigoureusement égales (1E). Ca n’empêchera pas Le Corbusier de présenter son travail à un grand professeur et, plus tard, à Albert Einstein. Les conseils d’un instituteur auraient suffit…

Le Corbusier, ensemble de dimensions, Modulor 1

On a compris que le Modulor est d’abord une figure finie, un ensemble de dimensions (au sens propre, des proportions rapportées à un homme debout, bras levé) renvoyant à des pratiques : homme assis, attablé, debout, accoudé, etc.
Ce n’est qu’en 1945 que l’outil de chantier devient un véritable système de proportions. Un jeune de l’agence découvre le pot au rose et s’adresse au maître :

« Monsieur, il m’apparaît que votre invention n’exploite pas un événement en surface, mais un événement linéaire. La "Grille" que vous avez trouvée n’est qu’un fragment d’une série linéaire, série de sections d’or tendant d’un côté vers zéro, de l’autre vers l’infini.
« Parfait, ais-je répondu, nous la baptiserons désormais : "Règle" des proportions. »28
Les séries rouges et bleues, tendant vers l’infini, ne sont pas nées au hasard. Comme la somme de deux sections d’or qui se suivent est égale à la section d’or suivante, toute confrontation d’une double longueur à sa section d’or génère, par addition ou par différence, de nouvelles sections d’or29. Outil de chantier réglé sur une seule section d’or, le modulor génère en cascade une suite infinie de sections d’or.
Malgré Le Corbusier, peu de gens croient encore aujourd’hui à des proportions qui seraient belles par nature. L’incroyable approximation qui a présidée au « lieu de l’angle droit » du double carré confirme assez le principe général de la colonne Maurice : dans un objet complexe dont on peut choisir les points, on peut retrouver, entre ces points, toutes les proportions approximatives que l’on veut.
Le Corbusier démontre aussi, non seulement qu’on peut être le plus grand architecte d’un siècle en étant d’une rare nullité en géométrie, mais qu’on peut aussi parfaitement théoriser son travail, dans la plus complète approximation.
En effet, le modulor demeure, sous une forme exacte ou approximative, un outil pratique d’une terrible efficacité.
Ce qui a été dit de l’ensemble des plus petits rapports estimables, contenus dans la série Y = KX, vaut également pour les « belles » proportions : si un élément Y et un « beau » rapport Phi sont posés a priori, l’ensemble des éléments estimables sera contenu dans la série géométrique Y = PhiX. Et quand même nous ne croyons pas que Phisoit le plus « beau » rapport possible, nous pouvons convenir qu’il est dans la moyenne des rapports estimables compris entre 1,2 et 2. Il a donc une certaine fréquence statistique.
Par ailleurs, la propriété remarquable de Phi augmente sensiblement le nombre des grandeurs commensurables possibles par regroupement d’éléments. Si Y = Phi X le regroupement Y + X = Phi Y est dans le même rapport.

Cette propriété contribue pour partie, pour partie seulement, à résoudre le problème de la rareté des proportions comparables deux par deux. Dans une opération de dimensionnement complexe, effectuée par approximations successives, il est fréquent qu’un concepteur cherchant des mesures estimables par groupement d’éléments mitoyens, « tombe » sur une valeur approchée de Phi, non parce qu’il croit à la magie des nombres, mais parce que Y + X est estimable de la même manière que Y et X[30].
On verra, plus tard, que l’architecture est un art des coïncidences.

Suite
Retour

1-Philippe Boudon considère l’échelle comme le concept majeur de ce qu’il appelle l’architecturologie. Il est difficile de parler d’échelle et de proportion après lui, non parce qu’il aurait épuisé le sujet, mais parce que ses analyses, la plupart du temps passionnantes, sont si nombreuses et foisonnantes que n’importe quel propos sur l’échelle est déjà contenu dans son œuvre. Pour rendre justice à l’auteur, il faudrait le citer toujours… ou ne le citer qu’une fois : Boudon Philippe, Introduction à l’architecturologie, 1992
2-C’est précisément la méthode utilisée par Albert Einstein pour fonder la théorie de la relativité : « En vertu de l’interprétation physique de la distance (…) nous sommes aussi en état de déterminer la distance de deux points sur un corps rigide au moyen de mesures. A cet effet nous avons besoin d’une droite (bâtonnet S), qui nous servira d’unité de mesure. Si maintenant A et B sont deux points d’un corps rigide, la droite qui les relie peut être construite d’après les lois de la géométrie ; on peut ensuite appliquer sur cette droite la droite S à partir de A autant de fois qu’il est nécessaire pour atteindre B. Le nombre des applications successives est la mesure de la droite AB. C’est sur ce procédé que repose toute mesure de longueur. » La relativité, 1956, p.11
3-C’est à dire celles des grandeurs et des vitesses généralement considérées à la surface de la terre. Les particules et les corps célestes en sont exclus, depuis Einstein, ainsi que les objets poreux, depuis Mandelbrot.
4-Cette constante ne concerne que les objets lisses. Les objets poreux, comme les iles et les choux-fleurs, ont des longueurs qui dépendent de l’unité de mesure adoptée. Une île n’a pas le même périmètre, selon qu’il est mesuré avec un décamètre, qui s’en tient aux rocher, un décimètre qui tourne autour de chaque cailloux, un millimètre qui tourne autour de chaque grain de sable, et ainsi de suite.
5-Si la plus petite différence qui peut être établie avec Y₁ est Y₂ = KY₁, la plus petite que l’on pourra établir avec Y₂ sera Y₃ = KY₂, et ainsi de suite, constituant la série géométrique Y_x+1 = KY_x, de fonction générale Y = KX
6-Supposons que dans une circonstance donnée, le plus petit rapport estimable soit de 1,2 et le plus grand rapport estimable soit 2 ; le rapport du plus petit élément de la série au plus grand doit être inférieur à 2 ; si un troisième élément est nécessaire, comparable aux deux premiers, la plus grande différence possible sera la série 1,00/1,41/2,00 ; pour quatre éléments, la plus grande différence possible sera la série 1,00/1,26/1,58/2,00 ; en recherchant la plus grande différence possible, on s’approche dangereusement du plus petit rapport estimable… ça passe au chausse-pied pour les 5 éléments de la série 1,00/1,20/1,44/1,73/2,00 ; mais il n’y a pas de solution au problème pour 6 éléments et plus. Pour un nombre maximal d’éléments N, un plus petit rapport estimable K un plus grand rapport estimable Y, on a Y = KN-1
7-Gromort, Essai sur la théorie de l’architecture, 1937
8-Idem, p.76
9-Les termes sont choisis en référence lointaine à Vladimir Jankélévitch, Le Je-ne-sais-quoi et le Presque-rien, PUF, Paris, 1957, 1980
10-Op.cité, p.175
11-Wittkower, Architectural Principles in the Age of Humanism, 194,. trad. Les principes de l’architecture à la Renaissance, 1996, p.126
12-Ce thème recouvre une croyance ancienne, qui aurait été celle de Pythagore. Pour ce que nous en savons, Pythagore considérait que « la Nature agit toujours de façon cohérente et avec des proportions constantes dans toutes ses opérations » et que ces proportions étaient exprimables par des nombres entiers. Les grecs s’en tenaient aux nombres rationnels, aux entiers et aux fractions de nombres entiers. Ils avaient clairement démontré que certaines grandeurs – à commencer par la circonférence du cercle et la diagonale du carré - étaient inexprimables par fractions. Cette anomalie les tarabustait un peu, perturbait leurs visions atomistes, mais n’empêchait aucun mathématicien grec de manipuler – avec dextérité – ces quantités bizarres.
13-Par soucis de clarté et par esprit de système, chaque moyenne est exprimée sous forme de suites proportionnelles, qui concernent un nombre infini de grandeurs. Mais ce n’est pas en terme de suites ou de séries que les choses étaient dites à la Renaissance.
14-Il faut signaler en passant que l’épaisseur des matériaux ruine toute continuité possible entre la trame entre-axes d’un quadrillage d’esquisse et la trame réalisée au nu extérieur ou intérieur d’un édifice. Ce point sera développé à propos de l’harmonie.
15-Opus cité, p.193
16-Gromort, Initiation à l’architecture, 1948, p.25
17-Idem, p.23
18-Neveux,  Le nombre d’or, radiographie d’un mythe, 1995
19-Pacioli, Divina Proportione, 1509, Trad. Divine Proportion, 1988
20-Idem
21-Ibid
22-Foucault, Les Mots et les Choses, Archéologie des sciences humaines, 1966
23-Zeising, Nouvelles leçons sur les proportions du corps humains, 1854, cité par Marguerite Neuveux, op.cité p.28
24-Op.cité
25-Conférer Annexe 1
26-Le Corbusier, Le Modulor 1, 1950. Réed. Denoël, 1977
27-Idem, p.35
28-Op.cité p.48
29-Pour PhiY₁ = Y₂ et PhiY₂ = Y₃ la propriété remarquable Y₁ + Y₂ = Y₃ implique 2Y₂ - Y₁ = Y₁ / Phi = Y₀ et 2Y₃ - Y₂ = PhiY₃ = Y₄.
30- Cet énoncé, qui paraissait se suffire à lui même, mérite un commentaire. Si l’on considère X, Y et la somme X+Y, d’un rapport Y=Phi X, il y a un rapport Y+X = Phi Y.

Phi est le plus grand rapport possible des trois éléments X, Y et X+Y, comparés deux par deux.

Si Y était plus grand que Phi X, X+Y serait plus petit que Phi Y.

Si Y était plus petit que Phi X, X+Y serait plus grand que Phi Y.

Imaginons un architecte qui recherche le plus grand contraste possible entre les parties X, Y et X+Y de la colonnade du Louvre.

Il peut abaisser le soutènement, ce qui produira de plus grands contrastes entre X et Y, d’une part, et X et X+Y, d’autre part. En revanche, le rapport de Y à X+Y sera restreint.

Il peut élever le soutènement. Le rapport Y à X+Y sera plus grand, mais les rapports de X à Y et X à X+Y seront restreint. L’architecte considéré reviendra à la première solution, par raison ou par tâtonnement.

Á plus forte raison, dans un système où de très nombreuses grandeurs dépendent les unes des autres, tel qu’un grand nombre d’entre-elles soient la somme de deux autres, un architecte qui recherche les plus grands contrastes possibles entre les éléments va peu ou prou être conduit à produire un grand nombre de rapport approchant la valeur de Phi, qu’il apprécie ou non ce rapport particulier, qu’il lui attribue ou non une valeur symbolique. C’est dire qu’à constater une certaine fréquence du rapport Phi dans un ouvrage complexe, cela n’implique pas nécessairement que son concepteur attribue à ce rapport une valeur particulière. Cela peut aussi bien vouloir dire qu’il recherche, par tâtonnement, les plus grands contrastes possibles au sein du système.